BENVENUTI AL GRAND HOTEL DI HILBERT

Autore: #MartinaScauda



Vi è mai capitato di dover prenotare all'ultimo momento e sentirsi rispondere <<siamo al completo>> dall'hotel del luogo? In questo caso, se vogliamo alloggiare possiamo solo tentare la fortuna altrove. Ma se ci rivolgessimo al Grand Hotel, descritto nel 1924 dal matematico tedesco David Hilbert, con infinite stanze, tutte occupate, troveremmo posto? Grazie all'ingegnoso staff, la nostra ricerca è conclusa. Per far accomodare il nostro gruppo, composto da k persone in camere singole, il direttore dell’albergo sposta ogni vecchio cliente di un numero k di camere in avanti rispetto alla sua precedente.


Durante il soggiorno, una sera giunge un autobus, che trasporta infiniti clienti in cerca di alloggio. Accomodare una tale quantità di avventori sembrerebbe impossibile, ma ancora una volta il direttore ci stupisce, chiedendo a tutti gli ospiti di trasferirsi dalla stanza numero n, in cui si trovano, alla 2n. In questo modo, tutte le stanze dispari sono pronte ad accogliere i clienti appena arrivati. Non riusciamo ad ambientarci nella nuova stanza che siamo costretti a spostarci di nuovo: infiniti autobus, ognuno con infiniti viaggiatori al suo interno, chiedono di pernottare. Ricordandosi che i numeri primi sono infiniti, come provato da Euclide nel 300 a.C., il direttore ha già una soluzione. Chiede quindi agli affezionati clienti, già alloggiati nella camera n, di passare nella stanza 2^n. Sistema poi i clienti del primo autobus nelle stanze numerate con una potenza di 3, i passeggeri del secondo in quelle aventi per numero le potenze di 5 e così con gli altri autobus, occupando ogni volta le camere numerate con una potenza del successivo numero primo. Tutti hanno trovato alloggio, ma sono rimaste così libere le infinite stanze non numerate con una potenza di un primo.


Le strategie di ricollocamento adottate si rivelano efficaci perché gli infiniti considerati sono numerabili: ad ognuna delle stanze, ad ogni passeggero e bus è stato infatti assegnato un numero naturale. Ma se invece arrivassero infiniti clienti, tanti quanti i numeri reali, il direttore riuscirebbe a trovare una camera per tutti?




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